%5E3%2B(b-c)%5E3%2B(c-a)%5E3.jpeg "(a-b)^3+(b-c)^3+(c-a)^3")
Identitas Aljabar: (a-b)^3 + (b-c)^3 + (c-a)^3
Dalam aljabar, identitas adalah sebuah persamaan yang selalu benar, tidak peduli nilai apa yang kita substitusikan ke dalam variabel-variabelnya. Salah satu identitas aljabar yang menarik adalah:
(a-b)^3 + (b-c)^3 + (c-a)^3 = 3(a-b)(b-c)(c-a)
Pengertian Identitas
Sebelum kita membahas identitas di atas, mari kita definisikan dulu apa itu identitas aljabar. Identitas aljabar adalah sebuah persamaan yang berlaku untuk semua nilai variabel-variabelnya. Contoh sederhana adalah identitas aljabar berikut:
a + 0 = a
Identitas ini berlaku untuk semua nilai a, karena menambahkan 0 ke sebuah bilangan tidak mengubah nilainya.
Pembuktian Identitas
Mari kita buktikan identitas (a-b)^3 + (b-c)^3 + (c-a)^3 = 3(a-b)(b-c)(c-a). untuk membuktikan identitas ini, kita akan menggunakan sifat-sifat operasi aljabar, seperti distributif dan associative.
(a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3
(b-c)^3 = b^3 - 3b^2c + 3bc^2 - c^3
(c-a)^3 = c^3 - 3c^2a + 3ca^2 - a^3
Kita akan menjumlahkan ketiga persamaan di atas:
(a-b)^3 + (b-c)^3 + (c-a)^3
= (a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3) + (b^3 - 3b^2c + 3bc^2 - c^3) + (c^3 - 3c^2a + 3ca^2 - a^3)
= a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3 + b^3 - 3b^2c + 3bc^2 - c^3 + c^3 - 3c^2a + 3ca^2 - a^3
= -3a^2b + 3ab^2 - 3b^2c + 3bc^2 - 3c^2a + 3ca^2
= 3(-a^2b + ab^2 - b^2c + bc^2 - c^2a + ca^2)
= 3(-a^2b + ab^2 - b^2c + bc^2 - c^2a + ca^2)
= 3(a-b)(b-c)(c-a)
Kesimpulan
Dengan demikian, kita telah membuktikan bahwa identitas (a-b)^3 + (b-c)^3 + (c-a)^3 = 3(a-b)(b-c)(c-a) memang benar. Identitas ini sangat berguna dalam berbagai aplikasi aljabar, seperti dalam menyelesaikan persamaan kuadrat dan kubik.
